最近在学习 NLP 领域中的主题模型 Topic Model 模块，从简单的二元混合文档 Mixture Model 开始，到复杂一点的多主题模型 PLSA，一直到最复杂的 LDA 算法，不论是听课，还是看别人的博客，看完后，我都是处于一种一知半解的状态，云里雾里，也去翻了很多的资料，也没能看明白是怎么一回事儿。
直到最近我终于下定决心，拿起纸和笔，自己一点一点的推导公式，一步一个脚印的拿着 EM 算法，来演算一遍这个求解过程。等推算一遍下来，我终于算是搞明白了算法是怎么一回事，以及它是怎么被计算出来的了。这篇博客就是主要用来记录我的推演过程，同时也希望这篇文章是一篇非常通俗易懂的博文，能帮助大家快速清楚明白的看懂这个模型，不必像我一样，再去走很多的弯路了。
这篇文章我先介绍 PLSA，之后我会再写一篇文章来介绍 LDA 算法。
Topic Model
先来介绍一下主题模型究竟是个什么东东。其实说白了，就是一个用来分析文章的主题的玩意儿。
举个例子，新浪的小编今天收到一份投稿，在审核完了这篇文章符合十九大精神，且并没有什么导向性错误之后，小编决定将它发布到新浪新闻的网站上去了，发布之前小编需要选择，这篇新闻我究竟是应该发在军事栏呢，还是应该发在体育栏呢？OK，这个时候，我们就发现，哦，原来一个文章是有主题的。并且我们可以通过主题来归类文档。
恩，但是一个文章可能会有多个主题，比如小明写了一篇文章，《从 NBA 球场看中国经济的发展》，这篇文章可能前半部分谈论的是说体育，后半部分说的是经济。那这个时候，我们怎么来定量的来表示文章的主题呢，我们会说文章里面百分之四十是体育主题，后面百分六十是经济主题。
OK，现在，我们的主题模型就初具雏形了。不过，在 NLP 里面，我们除了特定的主题外，我们一般会加上一个特殊的分类，叫做无主题类 Background。每个主题各自占比多少，就是由单词的数量来决定的。是不是很简单粗暴呀。
举个直观的例子，上图是一篇关于飓风 Katrina 的博文。红色部分的主题是政府的举措，紫色部分的主题是现场时事的报道，绿色部分说的是捐款和赈灾的情况。而黑色的部分是无任何主题的，我们称之为 Background words。通过不同颜色文字占的比例，我们可以一眼看出文章主题的分布是如何的。
PLSA
PLSA 算法，就是基于一个文章可能具有多种主题的这种情况，进行的建模。通过该算法，我们的最终目标是要得到两个东西。
- 对于文档库中的任意一个文章，我想要知道这个文章各个主题的占比是多少。
- 一个文章中的特定单词，它是属于某个主题的概率是多少。
第一个目标好理解，即是说，通过计算，我们要知道文章《从 NBA 球场看中国经济的发展》中，体育占比 0.35，经济占比 0.5，无主题的 Background Words 占比 0.15。
那么第二个目标什么意思呢？举个例子，假如在一大段文字中，你看到了单词“比赛”，现在你要猜测 “比赛” 这个单词是出现在关于主题 “体育” 中的一段话中呢？还是出现在属于关于 “娱乐” 的一段话中呢？
生活经验告诉你，“比赛” 这个单词出现在 “体育” 主题的文字中的概率，比出现在 “娱乐” 主题文字的概率，要大一些。那如果我们用数字来描述它的话，可能它出现在体育的概率是 0.7，出现在娱乐中的概率是 0.2，出现在无主题文字中的概率是 0.1。
用一张图来解释一下 PLSA 算法的目标。左边部分是我们的输入：一大堆文档。右边部分是输出，每个文档对应的主题占比，以及每个单词对应的属于某个主题的概率。
Generate Text with PLSA
在正式的求解之前，我们来开一个脑洞，反向的来思考一个问题。现在我们不再是已知文章求主题，而是已知一个文章是由音乐，体育，政治和无主题组成，并且知道每个主题的占比，以及在每个单词在该主题中出现的概率是多少，通过这些值，我们的目标是生成一个文章。
这看上去有点不可理喻，仅仅凭一些主题的占比，以及单词出现的概率分布，就想生成文章？好像觉得是不可理喻的。但是，现实生活中，我们确确实实是有这样的例子的。我们可以想象一个作家在写文章之前，他其实心里是预设好了我要写哪些主题的东西的。然后每个主题涉及到的词，一般来说，如果不是刻意去回避的话，都会按照概率的大小去使用到。这样想想，这种脑洞好像也并不是完全无稽之谈。
既然这样，我们就大概估计着定义一些单词和出现在主题里的概率分布。
- 无主题的文字占比为 0.2。
- 有主题的文字一共由三个主题组成：音乐 50% ，体育 30% ，政治 20%。
- 下面是我们词库里的单词，三个单词属于各个主题的概率见下表。
有了这些信息之后，我们开看看这个“作家”会如何根据主题和概率的分布来写文章吧。千里之行，始于足下。要想生成一个文章，我们要一个一个单词的来。首先，他要写第一个单词。
我们来推测一下，我们的这位作家，他会写哪一个单词呢？这就需要我们得到每个单词被他写的概率。
上面的公式是由贝叶斯公式计算得来的，我们知道当前的概率分布后，得到作家写第一个词是 Rock 的概率是 0.324，同理，我们可以得到第一个词是 Basketball 的概率为：0.266，第一个词是 Policy 的概率为：0.194。
如果我们把上面的过程用一张图来表示的话。就是如下的过程。
这张图我们需要从右下角出发。作家首先要做的是进行一个选择，是选择写无主题的背景单词呢，还是有主题的单词呢。如果是有主题的单词，写主题 i 的概率是多少呢？然后如果是写主题 i，主题 i中出现单词 w 的概率又是多少呢。这是其中的一种情况，我们需要用乘法法则来求解，如果是全部的情况的话，就是需要用加上把所有的概率加起来了。
写完第一个单词之后，就可以看写一篇文章了。其实每次作家做的事情都是重复写一个一个单词的过程。
EM Parameters
通过之前的讲解，我们知道了主题模型 PLSA 算法的目标以及它的输入输出，那么我们要求解的参数，怎么计算得到呢？
这个时候，我们就要引进 EM 算法，来帮助我们求解了。EM 算法具体原理和推导并不是这一片文章要介绍的，我们只是看一下在 PLSA 中利用 EM 来求解。
要利用EM来求解。首先，需要确定哪些参数是未知的。下图的公式中，显示了未知的参数分为了两个部分，
- Πd,j指的是在文档 d 中，主题 j 占的比例。
- θj指的是在主题 j 中，各个单词出现的比例。
这也很好理解为什么需要这两组参数，因为实际上，如果有了每一个文档的主题的占比和每个主题单词出现的频率，一个生成模型就呼之欲出了。
EM Process
明确了参数，那么来看一下EM的求解过程吧。EM 算法的精髓在我看来其实是两个。
- 1. 引入一个合适的 hidden vector 隐藏变量。
- 2. 找到一个可自收敛的 E 过程 和 M 过程来将需要求解的参数。
首先来看第一个问题，PLSA 的EM 过程中隐藏参数的定义
上图中的 Zd, w 就是隐藏变量，它代表的是在文档 d 中单词 w 属于某一个主体的这一个事件，我们的 E 过程就是计算这个 Z 事件的概率。
M 过程通过隐藏变量来重新估计 E 过程中的两个输入。至此，EM 终于得到了收敛。
Write At The End
这一篇 blog 历时四个月，之前在12月的时候写了一半，现在才将它补齐。很多东西在第二次写的时候已经忘记了，这再次说明了趁热打铁，当时明白就要马上写下来的道理。以后再接再厉。